三角形面積公式的應用與探究

設△ABC的三邊為a，b，c，由解直角三角形易得三邊上的高h_a，h_b，h_c，根據面積公式，可以推導出另一面積公式. 由此公式，可以直接已知兩邊及夾角的三角形面積，并解決一些與面積相關的問題.

一、應用面積公式，推導正弦定理

例1設△ABC的三邊為a，b，c，求證：.

證明：由三角形面積公式，得到，

即.

上式同時除以abc，得到.

所以，.

點評：三角形面積公式由直角三角形的邊角關系表示出各邊上的高之后再推導出來，再運用它推導正弦定理，實質就是教材中正弦定理推導過程的簡化.

二、活用代數變形，推導海倫公式

例2 △ABC的三邊為a，b，c，設，求證：.

證明：==

        =

        =

        =

        =

        =

        = .

點評：此例的結論，就是海倫公式，可以由三角形的三邊a、b、c直接求出三角形的面積. 海倫公式據說是由古希臘數學家阿基米德解決的，但較早出現于古希臘數學家海倫（Heron）的著作《測地術》中，公式的形式漂亮，且便于記憶. 我國大數學家秦九韶在也發(fā)現與海倫公式本質上相同的“三斜求積”公式，并記載于他寫的《數書九章》中. 如果由三角形面積和，得，，根據，整理后也可得到海倫公式.

三、結合面積公式，研究三角問題

例3 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.

（1）若a=4，b=5，S=5，求c的長度；

（2）若三角形的面積S=，求∠C的度數；

（3）若a、b、c成等比數列，且a²－c²=ac－bc，求∠A的大小及的值.

解：（1）∵S＝absinC，∴sinC＝，于是∠C＝60°或∠C＝120°.

又∵c²＝a²＋b²－2abcosC，

當∠C＝60°時，c²＝a²＋b²－ab，c＝；

當∠C＝120°時，c²＝a²＋b²＋ab，c＝.

∴ c的長度為或.

（2）由S=，得absinC=. ∴ tanC=1，得C=.

（3）∵a、b、c成等比數列，∴b²=ac.

又a²－c²=ac－bc，∴b²+c²－a²=bc.

在△ABC中，由余弦定理得

cosA===，∴∠A=60°.

在△ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB.

∴ bcsinA=b²sinB， 則=sinA=.

點評：解三角形時，需認真分析題中已知條件中邊與角之間的關系，根據條件合理選用正弦定理或余弦定理，結合三角形的面積公式來解決問題.

四、綜合面積公式，探討數學領域

例4 已知圓內接四邊形ABCD的邊長AB=2，BC=6，CD=DA=4. 求四邊形ABCD的面積.

解：如圖，連結BD，則四邊形面積

S＝S_△ABD＋S_△CBD＝AB·ADsinA＋BC·CDsinC

∵ A＋C＝180°， ∴sinA＝sinC，

∴ S＝（AB·AD＋BC·CD）·sinA＝16sinA.

在△ABD中，由余弦定理得BD²＝2²＋4²－2·2·4cosA＝20－16cosA.

在△CDB中，BD²＝52－48cosC， ∴20－16cosA＝52－48cosC.

又cosC＝－cosA，∴cosA＝－， ∴A＝120°，得S＝16sinA＝8.

點評：在印度婆羅摩笈多（約593-665后）的書中，出現了有圓內接四邊形的求積公式（其中a,b,c,d為四邊形的四條邊，p為四邊形的周長之半）. 當d=0時，這個公式即為海倫公式. 推廣到任意四邊形，則得到婆羅摩笈多公式.

三角形的面積公式有許多，例如已知三角形的三邊a、b、c及外接圓、內切圓的半徑為R，r，則有S△=abc/4R與.

又如，在△ABC中，若=()，= ()，則△ABC的面積為S=. 此三角形面積的向量公式可如下證明.

證明：

由上例公式，不必求三角形的邊長和角度，只要知道任意兩邊所對應的向量即可，而其向量在已知三角形三個頂點的坐標時不難求得. 由此，我們知道三角形三個頂點的坐標，也可以得到如下面積公式.

， ，則

      ＝ .

以上我們探討了各面積公式之間的相互聯系，靈活運用三角形的面積公式，能幫助我們解決許多解三角形的問題.