高中數(shù)學解題方法

　　一、換元法

　　“換元”的思想和方法，在數(shù)學中有著廣泛的應用，靈活運用換元法解題，有助于數(shù)量關系明朗化，變繁為簡，化難為易，給出簡便、巧妙的解答。

　　在解題過程中，把題中某一式子如f(x)，作為新的變量y或者把題中某一變量如x，用新變量t的式子如g(t)替換，即通過令f(x)=y或x=g(t)進行變量代換，得到結構簡單便于求解的新解題方法，通常稱為換元法或變量代換法。

　　用換元法解題，關鍵在于根據(jù)問題的結構特征，選擇能以簡馭繁，化難為易的代換f(x)=y或x=g(t)。就換元的具體形式而論，是多種多樣的，常用的有有理式代換，根式代換，指數(shù)式代換，對數(shù)式代換，三角式代換，反三角式代換，復變量代換等，宜在解題實踐中不斷總結經(jīng)驗，掌握有關的技巧。

　　例如，用于求解代數(shù)問題的三角代換，在具體設計時，宜遵循以下原則：(1)全面考慮三角函數(shù)的定義域、值域和有關的公式、性質;(2)力求減少變量的個數(shù)，使問題結構簡單化;(3)便于借助已知三角公式，建立變量間的內在聯(lián)系。只有全面考慮以上原則，才能謀取恰當?shù)娜�角代換。

　　換元法是一種重要的數(shù)學方法，在多項式的因式分解，代數(shù)式的化簡，恒等式、條件等式或不等式的證明，方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解，函數(shù)表達式、定義域、值域或較值的推求，以及解析幾何中的坐標替換，普通方程與參數(shù)方程、極坐標方程的互化等問題中，都有著廣泛的應用。

　　二、消元法

　　對于含有多個變數(shù)的問題，有時可以利用題設條件和某些已知恒等式(代數(shù)恒等式或三角恒等式)，通過適當?shù)淖冃危�消去一部分變�?shù)，使問題得以解決，這種解題方法，通常稱為消元法，又稱消去法。

　　消元法是解方程組的基本方法，在推證條件等式和把參數(shù)方程化成普通方程等問題中，也有著重要的應用。

　　用消元法解題，具有較強的技巧性，常常需要根據(jù)題目的特點，靈活選擇合適的消元方法。

　　三、待定系數(shù)法

　　按照一定規(guī)律，先寫出問題的解的形式(一般是指一個算式、表達式或方程)，其中含有若干尚待確定的未知系數(shù)的值，從而得到問題的解。這種解題方法，通常稱為待定系數(shù)法;其中尚待確定的未知系數(shù)，稱為待定系數(shù)。

　　確定待定系數(shù)的值，有兩種常用方法：比較系數(shù)法和特殊值法。

　　(一)比較系數(shù)法

　　比較系數(shù)法，是指通過比較恒等式兩邊多項式的對應項系數(shù)，得到關于待定系數(shù)的若干關系式(通常是多元方程組)，由此求得待定系數(shù)的值。

　　比較系數(shù)法的理論根據(jù)，是多項式的恒等定理：兩個多項式恒等的充分必要條件是對應項系數(shù)相等，即a0xn+a1xn-1+ …+an≡b0xn+b1xn-1+… +bn 的充分必要條件是 a0=b0, a1=b1,…… an=bn 。

　　(二)特殊值法

　　特殊值法，是指通過取字母的一些特定數(shù)據(jù)值代入恒等式，由左右兩邊數(shù)值相等得到關于待定系數(shù)的若干關系式，由此求得待定系數(shù)的值。

　　特殊值法的理論根據(jù)，是表達式恒等的定義：兩個表達式恒等，是指用字母容許值集內的任意值代替表達式中的字母，恒等式左右兩邊的值總是相等的。

　　待定系數(shù)法是一種常用的數(shù)學方法，主要用于處理涉及多項式恒等變形問題，如分解因式、證明恒等式、解方程、將分式表示為部分分式、確定函數(shù)的解析式和圓錐曲線的方程等。

　　四、判別式法

　　實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) ①

　　的判別式△=b2-4ac具有以下性質：

　　               >0，當且僅當方程①有兩個不相等的實數(shù)根

　　△          =0，當且僅當方程①有兩個相等的實數(shù)根;

　　               <0，當且僅當方程②沒有實數(shù)根。

　　對于二次函數(shù)

　　y=ax2+bx+c (a≠0)②它的判別式△=b2-4ac具有以下性質：

　　                >0，當且僅當拋物線②與x軸有兩個公共點;

　　△            =0，當且僅當拋物線②與x軸有一個公共點;

　　                <0，當且僅當拋物線②與x軸沒有公共點。

　　利用判別式是中學數(shù)學的一種重要方法，在探求某些實變數(shù)之間的關系，研究方程的根和函數(shù)的性質，證明不等式，以及研究圓錐曲線與直線的關系等方面，都有著廣泛的應用。

　　在具體運用判別式時，①②中的系數(shù)都可以是含有參數(shù)的代數(shù)式。

　　從總體上說，解答數(shù)學題，即需要富有普適性的策略作宏觀指導，也需要各種具體的方法和技巧進行微觀處理，只有把策略、方法、技巧和諧地結合起來，創(chuàng)造性地加以運用，才能成功地解決面臨的問題，獲取良好的效果。

　　五、 分析法與綜合法

　　分析法和綜合法源于分析和綜合，是思維方向相反的兩種思考方法，在解題過程中具有十分重要的作用。

　　在數(shù)學中，又把分析看作從結果追溯到產(chǎn)生這一結果的原因的一種思維方法，而綜合被看成是從原因推導到由原因產(chǎn)生的結果的另一種思維方法。通常把前者稱為分析法，后者稱為綜合法。

　　具體的說，分析法是從題目的等證結論或需求問題出發(fā)，一步一步的探索下去，較后達到題設的已知條件;綜合法則是從題目的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，較后達到待證的結論或需求問題。

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